[Essence of linear algebra] ch3. Linear transformations and matrices

https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=3

 

이번에는 엘리스 해당 파트 듣기 전에 이걸 먼저 듣고, 넘어가보려고 한다. 

 

Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself.

— Morpheus

(Surprisingly apt words on the importance of understanding matrix operations visually.)

 

- 매트릭스 영화에서 나온 대사인 건데.. ㅎ 진짜 꼭 시각적으로 봐야 한다. 

안 그러면 이해가 안돼.. 일단 나는..

 

- 그냥 외우지 말라고 하는데 일단 가능할 지 봅시다 ㅎ

 

 

[선형 변환 Linear transformation]

 

- 변환 = 함수 f(x) -> 입력값을 받아서 출력하는 것 

- 선형대수학에서 한 벡터를 입력 받아서 다른 벡터로 출력하는 변환을 좋아함 L(V) 

- 같은 의미인데 다른 단어를 사용하는 이유는 입-출력 관계를 특정한 방식으로 시각화하도록 하기 위함

- 벡터를 이해하기 가장 좋은 방법은 운동movement을 통해서임. 

- 아래 인풋 벡터의 화살표가 아웃풋 벡터로 "이동"한다고 생각하면 편함. 

- 아래처럼 확장해서 생각해볼 수도 있음. 모든 입력 가능한 벡터가 출력 벡터를 향해 움직인다.

- 그런데 저러면 머리가 아프기 때문에 화살표의 끝을 하나의 점이라고 생각하면 쉬움. 

- 아래의 점이 다음 사진처럼 이동한다고 생각하면 편함. 

 

- 사실상 2차원 내에서 점, 선, 면이 다 되는 것임. 

- 굉장히 다양하게 변화할 수 있지만, 대수학에서는 몇몇으로 형태가 제한됨. 

- 그 중에 하나가 선형 변환임.

 

 

[선형변환의 2개의 속성]

 

1. 모든 직선은 곡선 없이 직선으로 유지됨.

2. 축의 원점은 그대로 유지되어야 함. 

 

 

- 직선만 볼 때는 변화하는 것 같지 않을 수 있지만,  대각선diagonal도 확인해줘야 함. 

 

- 일반적으로 선형변환은 격자선을 평행하게 유지하고 동일한 간격으로 배치함. 

- 축의 원점을 중심으로 한 회전은 가능

- but, 어떻게 복잡한 움직임을 구현해낼것인가? 어떤 값을 입력해야 하는 가의 문제가 있음. 

- 이럴 때는 i^과, j^의 위치만 알고 있으면 됌. 

 

- 격자를 그대로 오른쪽 밭향으로 틀었음. 보면 뒤에 그리드가 원래는 파랑/흰색 선과 일치했었음. 

- 핵심은 격자선이 평행하고 동일한 간격으로 유지된다는 것임. 

- 이렇게 되면 i^, j^을 스케일링하여 변행해도 똑같게 할 수 있음. 

- 보면 지금 변형된 값들은 방향이랑 위치만 바뀐 거임. 

-> i^과 j^이 된 것과 정확히 동일한 벡터의 선형 조합이 된 것임. 

 

=> i^, j^이 어디로 갈지에 따라서면 v가 어디로 갈지 추론할 수 있음. 

- 이게 강연자가 원본 그리드 사본을 배경에 보관하는 이유라고 함. 

 

 

- 결국 기저벡터에 선형 결합이 새로운 벡터 값이 됨 => 선형 변환임.

- 이러면 정확하게 변형하는 것을 보지 않고도 i^, j^이 가르키는 지점을 알 수 가 있음. => 명백하게 특정 지점을 가르키기 때문 

 

- i^, j^의 값을 알면 어떤 벡터가 들어오더라도 어떻게 변형될 지를 알 수 있음. 

- 2차원 선형변환은 4개의 숫자만 알고 있으면 됨. 

 - i^ 의 xy좌표와 j^의 xy좌표만 알고 있으면 가능함. 

 

- 마찬가지임 2x2 매트릭스 그리드로 만들어도 새로운 거 하나 더 넣어주면 됨. 

- 일반적인 경우 

- 공식은 아래가 됨. 선형 곱의 형태로 쓸 수 있음. 

- but, 반드시 원리를 이해할 것. 

- 1열은 i^이고 2열은 j^이 되는 것임.

- 각각 x와  y의 기저 벡터이고 새로 들어오는 벡터 값을 곱해서 스케일링을 하여

새로운 좌표 값을 구하게 되는 것임.

 

- 90도 시계 반대 방향으로 돌렸을 때 예시

- 90도 돌리고 어떻게 되는 지 궁금하면 그냥 새로운 벡터 값을 곱해주면 됨. 

 

 

[전단 Shear]

- i^은 그대로지만 j^은 1,1 로 변경 됨. 

 

- 왜곡이 주어진 벡터를 어떻게 변환하는 지 찾는 것은 이 행렬을 곱하면 됨. 

 

변형이 있는지 알아보고자 할 때 어떻게 할 수 있는지. 

 

- i^과 j^을 격자선을 평행하고 간격을 동일하게 유지함. 

 

- 선형 종속은 하나는 다른 하나의 스케일된 버전임을 의미하기에 

  선형변환이 전체 2차원 공간을 압축하여 하나의 선으로 만들어 압축하는 것을 의미함. 

=> 1차원 스팬

 

 

===> recap

- 선형변환은  우리의 주변의 공간을 움직이는 방법임. 

- 격자선이 평행을 유지하고 간격이 동일하게 유지되도록 하며, 축의 원점도 일정하게 유지됨. 

- 이러한 변화는 몇 개의 숫자로 설명 가능

 - 매트릭스 열로 각 기저벡터가 변환 될 좌표를 나타냄 

- 행렬-벡터 곱셈은 단지 계산하는 방법일 뿐임 -> 이 변환이 벡터에 어떤 영향을 미치는 가

- 그림을 볼 때마다 공간의 변형으로 해석할 수 있게 되면 다음 챕터들을 잘 이해할 수 있음.